Titulo

miércoles, 25 de octubre de 2017

Matemáticas aplicadas


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Indice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales 8
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Sistemas de Ecuaciones. M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Soluciones de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Sistemas dependientes de un par´ametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2. Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Matrices 29
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Definici´on de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2. Producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1. Pasos a seguir para hallar A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Expresi´on matricial de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Programacio´n lineal 47
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Funci´on objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Regi´on factible. Puntos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. L´ımites y continuidad 72
4.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. Concepto de l´ımite. Caracterizaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. L´ımites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5
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INDICE GENERAL 6
4.3. L´ımites infinitos y l´ımites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1. L´ımites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2. L´ımites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4. C´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1. L´ımites sin indeterminaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.1. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5. Derivadas 86
5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2. Derivada de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Aplicaciones de las derivadas 99
6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2. Funci´on derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3. Monoton´ıa de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6. Optimizaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7. Representacio´n de funciones 114
7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2. Esquema para la representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1. Dominio de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.2. Simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.3. Puntos de corte con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.4. Monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.6. As´ıntotas y ramas de una funci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.7. Esbozo de la gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.1. Ejercicios resueltos PAU 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8. Iniciacio´n a las integrales 135
8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2. Primitiva de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4. Integrales Semi inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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INDICE GENERAL 7
8.6. Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.7. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.8. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.8.1. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.9. C´alculo de ´areas de recintos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.10. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9. C´alculo de probabilidades 159
9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.2. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.3. Definici´on de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.4. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.5. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes . . . . . . . . . . . . . 163
9.6. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.7. Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.8. Diagramas de ´arbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.9. F´ormula de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.Distribucio´n normal. Inferencia estad´ıstica 182
10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2. Distribuci´on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2.1. Par´ametros estad´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2.2. C´alculo de probabilidades en una distribuci´on normal N(0,1) . . . 184
10.2.3. Variable tipificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3. Inferencia estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.1. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.2. Contraste de hip´otesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
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