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Indice general 7
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Indice general
Pre´ambulo 11
1 Introducci´on a las funciones de varias variables 15
1.1 Introducci´on al concepto de funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Incrementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Funciones de varias variables 33
2.1 Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Funciones escalares y vectoriales. Dominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Gr´aficas, l´ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Gr´aficas y l´ımites de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Composici´on de funciones 65
3.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Funciones homog´eneas 73
4.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Funciones impl´ıcitas 81
5.1 Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 C´alculo de derivadas 95
6.1 Derivaci´on de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Derivaci´on de sumas y productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Derivaci´on de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4 Derivaci´on de composiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Derivaci´on de productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 Derivaci´on de cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.7 Otras reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.8 Algunos convenios de notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.9 Vector gradiente y matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.11 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8 ´Indice general
7 Interpretaci´on de la derivada 109
7.1 La definici´on de derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Observaciones sobre la interpretaci´on de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Derivadas en porcentaje y elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Derivadas de funciones de una variable 127
8.1 C´alculo de m´aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9 Derivadas sucesivas 137
9.1 Notaci´on para las derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.2 La matriz hessiana y el teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Diferenciabilidad 149
10.1 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Direcciones de m´aximo crecimiento, m´aximo decrecimiento y crecimiento nulo . . 152
10.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11 La regla de la cadena 163
11.1 Derivaci´on de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 El teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3 Derivaci´on de funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12 C´alculo de primitivas 191
12.1 Concepto de primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.3 Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13 La integral de Riemann 203
13.1 El concepto de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 13.2 Interpretaci´on geom´etrica de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.3 Integrabilidad y c´alculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.4 Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.5 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.6 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.7 Ap´endice: La definici´on de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
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Indice general 9
14 La integral impropia 225
14.1 Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.2 Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.3 Integrales impropias generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.4 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
14.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
15 Variables aleatorias continuas 241
15.1 Variables aleatorias y funciones de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
15.2 Esperanzas y medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 15.3 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.4 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
16 Ecuaciones diferenciales 251
16.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
16.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
17 ´Algebra lineal y sistemas de ecuaciones 263
17.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
17.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 17.3 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
17.4 Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
17.5 Sistemas de ecuaciones arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
17.6 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
17.7 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
A Problemas variados resueltos 285
B Problemas variados propuestos 301
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Indice de materias 306
