índice
Secuencias infinitas...............................................................................17
1.1 Generalidades......................................................................................17
1.2 Límite de una secuencia: convergencia y divergencia.................20
1.3 Secuencias monótonas......................................................................22 1.4 Convergencia y crecimiento económico: una breve reseña........... 25
Ejercicios ....................................................................................................30
Apéndice. Algunas propiedades de límites de secuencias infinitas.... 34
Series infinitas........................................................................................35
2.1 Generalidades.................................................................................... 35
2.2 Propiedades algebraicas de series infinitas........ 36
2.3 La serie geométrica................................................ .37
2.3.1 Aplicación: multiplicadores en la economía......................38
2.3.2 Aplicación: valor actual neto ..................... . 42
2.4 Criterios o pruebas de convergencia.............................................44
2.4.1 Criterio de la integral .............................................................45
2.4.2 Criterios de comparación......................................................48
2.4.3 Últimas pruebas: criterios de la raíz y de la ratio...............51
2.5 Series alternadas.................................................................................52
2.6 Convergencia absoluta y condicional ...........................................54
2.7 Síntesis................................................................................................55
Ejercicios .................................................................................................... 57
índice de figuras
I. Secuencias infinitas
1.1 Representación de secuencias.........................................................19
1.2 Límite de una secuencia..................................................................21
1.3 Convergencia económica.................................................................28
II. Series infinitas
2.1 Base monetaria, liquidez en moneda nacional y
multiplicador bancario .....................................................................42
2.2 Convergencia: criterio de la integral..............................................46
2.3 Convergencia de series alternadas..................................................53
III. Series de potencias y de Taylor
3.1 Convergencia de una serie de potencias........................................65
3.2 Duración y convexidad de un bono................................................77
3.3 Aproximación lineal de una (unción..............................................78
3.4 Aproximación de e '.......... 81
3.5 Aproximación de sen(jt) y cos(.r) ...................................................85
3.6 Curva de Lorenz................................................................................97
3.7 Curva de Lorenz y polinomios de Taylor......................................99 3.8 Función de producción Cobb - Douglas y aproximaciones.... 103
IV. Ecuaciones diferenciales I
4.1 Población mundial..........................................................................120
4.2 Ejemplos de trayectorias................................................................123
III. Series de potencias y de Taylor..............................................64
3.1 Generalidades....................................................................................64
3.2 Manipulando series de potencias...................................................68 3.2.1 Aplicación: medidas de riesgo de un bono........................73
3.3 Desarrollo de series de potencias: la serie de Taylor..................78
3.3.1 El polinomio de Taylor...........................................................78
3.3.2 La serie de Taylor....................................................................84 3.3.3 El teorema de Taylor..............................................................88
3.3.4 Técnicas comunes en la obtención de aproximaciones
de Taylor...................................................................................99
3.3.5 Polinomios de Taylor de funciones multivariadas............101
Ejercicios ..................................................................................................104
Apéndice. El teorema del valor m edio..................................................108
IV. Ecuaciones diferenciales 1......................................................109
4.1 Introducción.....................................................................................109
4.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden .114
4.2.1 Aplicación: crecimiento exponencial.................................117
4.2.2 Convergencia y estabilidad.................................................121
4.2.3 Resolución de un caso especial...........................................128
4.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden 134
4.3.1 Independencia lineal y la ecuación homogénea...............135
4.3.2 Método de los coeficientes indeterminados..................... 146
4.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior 150
4.4.1 Aplicación: una nota breve sobre ciclos............................155
4.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales........159
4.5.1 Sistemas lineales de primer orden: solución general......160
4.5.2 Análisis gráfico y estabilidad..............................................164
4.5.3 Estabilidad: aspectos analíticos...........................................171
4.5.4 Consideraciones finales........................................................174 Ejercicios .................................................................................................. 179
Apéndice A. El método de variación de parámetros.........................188
Apéndice B. Nota sobre sistemas de EDO lineales............................189
V. Ecuaciones diferenciales II....................................................191
5.1 Introducción.....................................................................................191
5.2 Enfoque cualitativo.........................................................................191
5.2.1 Caso unidimensional............................................................ 192
5.2.2 Caso bidimensional...............................................................198
5.3 Métodos de series de potencias....................................................215
5.4 Métodos numéricos.......................................................................222
5.4.1 Motivación.............................................................................223
5.4.2 Método de series de Taylor.................................................226
5.4.3 El método de Euler modificado.........................................231
5.4.4 El método Runge Kutta de segundo orden......................234
5.4.5 El método Runge Kutta de cuarto orden.........................238
5.4.6 Una evaluación de los métodos numéricos....................241
5.4.7 EDO de orden superior y sistemas....................................243
Ejercicios ..................................................................................................248
Apéndice. ¿Cómo usar los métodos numéricos?................................254
A. Métodos numéricos en MATLAB®......... 254
B. Métodos numéricos en MS Excel....................................................257
VI. Ecuaciones en diferencias......................................................262
6.1 Introducción.....................................................................................262
6.2 Ecuaciones en diferencias ordinarias lineales de primer orden ... 265
6.2.1 Convergencia y estabilidad.................................................268
6.2.2 Resolución de un caso especial..........................................272
6.2.3 Aplicación: modelo de la telaraña 275
6.3 Ecuaciones en diferencias ordinarias de segundo orden.........278
6.3.1 La solución homogénea........................................................279
6.3.2 La solución particular...........................................................284
6.4 Ecuaciones en diferencias ordinarias lineales de orden
superior............................................................................................. 290
6.4.1 Aplicación: ciclo de inventarios.........................................295
6.5 Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales..........................298
6.5.1 Sistemas lineales de primer orden......................................299
6.5.2 Sistemas lineales de orden superior.................................. 308
6.6 Ecuaciones en diferencias no lineales 311
6.6.1 Enfoque numérico............ 311
6.6.2 Enfoque cualitativo.......... 315
6.7 El operador de rezago....................................................................320
6.7.1 Ecuaciones en diferencias de primer orden......................321
6.7.2 Ecuaciones en diferencias de segundo orden...................326
Ejercicios ..................................................................................................330
Apéndice A: Soluciones hacia atrás y hacia adelante........................ 337
Apéndice B: Paralelo entre EDO y EED...............................................338
VII. Apéndice. Números complejos............................................. 340
7.1 Definición..........................................................................................340
7.2 Operaciones con números complejos..........................................342
7.3 Números complejos conjugados...................................................342
7.4 Módulo de los números complejos............................................ 343
7.5 Forma polar de un número complejo.........................................344
7.6 Interpretación geométrica de la multiplicación y la división .. 345
7.7 La fórmula de De Moivre.............................................................346
7.8 Raíces n-ésimas de los números complejos...............................346
Bibliografía..........................................................................................................348
